Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，A₁在底面ABC的射影為BC的中點E，D是B₁C₁的中點．
（1）證明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求點B到平面A₁ACC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）設E為BC的中點，推導出A₁E⊥AE，AE⊥BC，從而AE⊥平面A₁BC，再推導出A₁AED為平行四邊形，由此能證明A₁D⊥平面A₁BC．
（2）推導出A₁E⊥BC，A₁C=A₁B，AE=BE，由${V_{{A_1}-ABC}}={V_{B-{A_1}AC}}$，能求出B到平面A₁ACC₁的距離．

解答 證明：（1）設E為BC的中點，由題意得A₁E⊥平面ABC，∴A₁E⊥AE．
∵AB=AC，∴AE⊥BC．
又A₁E∩BC=E，A₁E、BC?平面A₁BC
故AE⊥平面A₁BC．…（4分）
由D，E分別為B₁C₁、BC的中點，得DE∥B₁B，且DE=B₁B，
又AA₁∥BE，AA₁=BE
從而DE∥A₁A，且DE=A₁A，∴A₁AED為平行四邊形．
故A₁D∥AE，…（6分）
又∵AE⊥平面A₁BC，∴A₁D⊥平面A₁BC． …（7分）
（2）∵A₁E⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁E⊥BC
又E為BC的中點，∴A₁C=A₁B…（8分）
∵∠BAC=90°，E為BC中點，∴AE=BE，
∴Rt△A₁EA≌RtA₁EB，∴A₁B=AA₁=4，∴A₁C=4…（9分）
∴△A₁AC中AC邊上的高為$\sqrt{{A_1}{C^2}-{{（\frac{AC}{2}）}^2}}=\sqrt{{4^2}-{1^2}}=\sqrt{15}$，
∴${S_{△{A_1}AC}}=\frac{1}{2}•2•\sqrt{15}=\sqrt{15}$，
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•AB=\frac{1}{2}•2•2=2$，${A_1}E=\sqrt{{A_1}{B^2}-E{B^2}}=\sqrt{{4^2}-（\sqrt{2}}{）^2}=\sqrt{14}$…（12分）
設B到平面A₁ACC₁的距離為d
由${V_{{A_1}-ABC}}={V_{B-{A_1}AC}}$
得$d=\frac{{{A_1}E•{S_{△ABC}}}}{{{S_{△{A_1}AC}}}}=\frac{{2•\sqrt{14}}}{{\sqrt{15}}}=\frac{{2\sqrt{210}}}{15}$，
∴B到平面A₁ACC₁的距離為$\frac{2\sqrt{210}}{15}$．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．