Question

17．已知函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$是奇函數，求實數a滿足的條件．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的定義建立了方程關系進行求解即可．

解答 解：要使函數有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-a≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥a}\end{array}\right.$，
∵f（-x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$=f（x），
∴若函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$是奇函數，
則函數f（x）既是奇函數也是偶函數，
則f（x）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{{x}^{2}-a=0}\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{x}^{2}=a}\end{array}\right.$，則a=1，
即要使函數f（x）是奇偶性，則a=1．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用和判斷，利用函數奇偶性的定義建立方程關系是解決本題的關鍵．