Question

17．已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=7，b_n=$\frac{_{n-1}^{2}-1}{_{n-2}}$（n≥3）．求證：9b_nb_n+1+1是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 由遞推公式求出數(shù)列的前4項，由此猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．由遞推公式得到${_{n-1}}^{2}=_{n}_{n-2}+1$，${_{n}}^{2}=_{n+1}_{n-1}+1$，從而得到7b_n=b_n+1+b_n-1，再用數(shù)學歸納法進行證明9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．由此能證明9b_nb_n+1+1是完全平方數(shù)．

解答 證明：∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=7，bn=$\frac{_{n-1}^{2}-1}{_{n-2}}$（n≥3），
9b₁b₂+1=9×1×7+1=64=8²=（b₁+b₂）²，
∴$_{3}=\frac{49-1}{1}$=48，9b₂b₃+1=9×7×48+1=55²=（b₂+b₃）²，
$_{4}=\frac{4{8}^{2}-1}{7}$=329，9b₃b₄+1=9×48×329+1=377²=（b₃+b₄）²，
由此猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．
下面用數(shù)學歸納法進行證明：
①n=1時，9b₁b₂+1=9×1×7+1=64=8²=（b₁+b₂）²，成立；
②假設n=k時，成立，即9b_kb_k+1+1=（b_k+b_k+1）²，
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=7，b_n=$\frac{_{n-1}^{2}-1}{_{n-2}}$（n≥3），
∴${_{n-1}}^{2}=_{n}_{n-2}+1$，${_{n}}^{2}=_{n+1}_{n-1}+1$，
∴${_{n}}^{2}-{_{n-1}}^{2}=_{n+1}_{n-1}-_{n}_{n-2}$，
∴$\frac{_{n}}{_{n+1}+_{n-1}}=\frac{_{n-1}}{_{n}+_{n-2}}$=…=$\frac{_{2}}{_{1}+_{3}}$=$\frac{1}{7}$，
∴7b_n=b_n+1+b_n-1，
∴9b_k+1b_k+2+1=9×$\frac{（_{k}+_{k+1}）^{2}-1}{9_{k}}×_{k+2}$+1
=$\frac{（_{k}+_{k+1}）^{2}-1}{_{k}}×_{k+2}+1$
=$\frac{{_{k}}^{2}+2_{k}_{k+1}+{_{k+1}}^{2}-1}{_{k}}×_{k+2}$+1
=（b_k+2b_k+1+b_k+2）×b_k+2+1
=b_kb_k+2+2b_k+1b_k+2+${_{k+2}}^{2}$+1
=${_{k+1}}^{2}+2{_{k+1}_{k+2}+_{k+2}}^{2}$
=（b_k+1+b_k+2）²，
即9b_k+1b_k+2+1=（b_k+1+b_k+2）²成立，
∴9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．
∴9b_nb_n+1+1是完全平方數(shù)．

點評 本題考查數(shù)列{b_n}中9b_nb_n+1+1是完全平方數(shù)的證明，是中檔題，解題時要注意遞推思想、數(shù)學歸納法的合理運用，解題的關鍵是合理猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．