Question

6．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，且當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f（$\frac{1}{2015}$）等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 依題意，可求得f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，再分別利用f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，即可求得答案．

解答 解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（1）=1，
由f（$\frac{1}{2}$）+f（1-$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}f（x）$，
令x=1可得f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{25}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{5}$）=（$\frac{1}{2}$）²，
f（$\frac{1}{125}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{25}$）=（$\frac{1}{2}$）³，
f（$\frac{1}{625}$）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$
f（$\frac{1}{3125}$）=（$\frac{1}{2}$）⁵=$\frac{1}{32}$，
∵$\frac{1}{3125}$＜$\frac{1}{2015}$＜$\frac{1}{625}$，
又∵0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴f（$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{32}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法求值，考查遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題