Question

已知向量

m

=（b-a，c-b），

n

=（sinB+sinA，sinC），

m

⊥

n

其中A，B，C為△ABC的內角，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊．
（1）求角A的大��；
（2）求sinB•sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用數(shù)量積運算、正弦定理即可得出；
（2）利用三角形的內角和定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(b-a)(sinB+sinA)+(c-b)sinC=0，
即（b-a）（sinB+sinA）=（b-c）sinC，
由正弦定理可得：（b-a）（b+a）=（b-c）c，
整理可得：b²+c²-a²=bc，故cosA=

1

2

．
（2）∵cosA=

1

2

，∴A=

π

3

，∴C=

2π

3

-B，B∈(0，

2π

3

)．
即sinB•sinC=sinB•sin(

2π

3

-B)=

3

2

sinBcosB+

1

2

sin2B=

1

2

sin(2B-

π

6

)+

1

4

．
∵B∈(0，

2π

3

)，∴2B-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

)．
故sin(2B-

π

6

)∈(-

1

2

，1]，
故sinB•sinC的取值范圍為(0，

3

4

]．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．