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5.已知圓C1:x2+y2=r2與橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)于x軸的交點(diǎn)重合,且橢圓C2的離心率為22,圓C1上的點(diǎn)到直線l:x=-22的最短距離為22-2.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)如圖過直線1上的動點(diǎn)T作圓C1的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為A、B,若直線AB與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)C、D,求△OCD面積的最大值.

分析 (1)運(yùn)用離心率公式和直線和圓的位置關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)圓C1的方程為x2+y2=4,設(shè)直線x=-22上的動點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-22,t),(t∈R),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AT的方程為x1x+y1y=4,直線BT的方程為x2x+y2y=4,直線AB的方程為-22x+ty=2,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式可得O到直線AB的距離,再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,運(yùn)用三角形的面積公式,化簡整理,由基本不等式即可得到最大值.

解答 解:(1)由題意可得e=ca=22,r=a,
且22-a=22-2,a2-b2=c2,
解得a=2,b=c=2,
即有橢圓方程為x24+y22=1;
(2)圓C1的方程為x2+y2=4,
設(shè)直線x=-22上的動點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-22,t),(t∈R),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AT的方程為x1x+y1y=4,
直線BT的方程為x2x+y2y=4,
又T(-22,t)在直線AT和BT上,即 {22x1+ty1=422x2+ty2=4,
∴直線AB的方程為-22x+ty=4,
由原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=48+t2,
聯(lián)立{22x+ty=4x2+2y2=4,消去x,得(t2+16)y2-8ty-16=0,
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),
則y3+y4=8tt2+16,y3y4=-16t2+16,
從而|CD|=1+t28|y3-y4|=1416+2t28t16+t22+64t2+16=48+t216+t2,
則△OCD面積為S=12d•|CD|=1248+t248+t216+t2=88+t216+t2,
8+t2=m(m≥22),即有S=8m8+m2=8m+8m82m8m=2
當(dāng)且僅當(dāng)m=8m,可得m=22,△OCD的面積取得最大值2

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和直線和圓的位置關(guān)系,考查三角形的面積的最大值的求法,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及基本不等式求得最值,屬于中檔題.

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