分析 (1)運(yùn)用離心率公式和直線和圓的位置關(guān)系,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)圓C1的方程為x2+y2=4,設(shè)直線x=-2√2上的動點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-2√2,t),(t∈R),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AT的方程為x1x+y1y=4,直線BT的方程為x2x+y2y=4,直線AB的方程為-2√2x+ty=2,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式可得O到直線AB的距離,再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,運(yùn)用三角形的面積公式,化簡整理,由基本不等式即可得到最大值.
解答 解:(1)由題意可得e=ca=√22,r=a,
且2√2-a=2√2-2,a2-b2=c2,
解得a=2,b=c=√2,
即有橢圓方程為x24+y22=1;
(2)圓C1的方程為x2+y2=4,
設(shè)直線x=-2√2上的動點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-2√2,t),(t∈R),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AT的方程為x1x+y1y=4,
直線BT的方程為x2x+y2y=4,
又T(-2√2,t)在直線AT和BT上,即 {−2√2x1+ty1=4−2√2x2+ty2=4,
∴直線AB的方程為-2√2x+ty=4,
由原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=4√8+t2,
聯(lián)立{−2√2x+ty=4x2+2y2=4,消去x,得(t2+16)y2-8ty-16=0,
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),
則y3+y4=8tt2+16,y3y4=-16t2+16,
從而|CD|=√1+t28|y3-y4|=14√16+2t2•√(8t16+t2)2+64t2+16=4(8+t2)16+t2,
則△OCD面積為S=12d•|CD|=12•4√8+t2•4(8+t2)16+t2=8√8+t216+t2,
令√8+t2=m(m≥2√2),即有S=8m8+m2=8m+8m≤82√m•8m=√2.
當(dāng)且僅當(dāng)m=8m,可得m=2√2,△OCD的面積取得最大值√2.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和直線和圓的位置關(guān)系,考查三角形的面積的最大值的求法,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及基本不等式求得最值,屬于中檔題.
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A. | {y|y>1} | B. | {y|y≥1} | C. | {y|y>0} | D. | {y|y≥0} |
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A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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