Question

18．已知焦點(diǎn)為（0，1），（0，-1）的橢圓C與直線l：y=-x+1交于 A，B兩點(diǎn)，M為 A B的中點(diǎn)，直線 O M的斜率為2．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 E過定點(diǎn)（1，4），且與橢圓C有相同的離心率．過橢圓C上一點(diǎn)作直線y=kx+m（m≠0）交橢圓 E于 M，N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C和橢圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），將直線y=1-x代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，由直線的斜率，解方程可得橢圓C的方程；設(shè)橢圓E：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1，代入定點(diǎn)（1，4），再由離心率公式，解方程可得E的方程；
（II）設(shè)（x₀，y₀）為橢圓C上一點(diǎn)，可設(shè)x₀=cosα，y₀=$\sqrt{2}$sinα，0≤α＜2π，求得|m|≤$\sqrt{2+{k}^{2}}$，將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，由點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）設(shè)橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
由題意可得c₁=1，
將直線y=1-x代入橢圓C的方程，可得，（a₁²+b₁²）x²-2b₁²x+b₁²-a₁²b₁²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{2{_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}}$，則中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{{_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}}$，$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}}$），
由題意可得k_OM=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=2，又a₁²-b₁²=1，解方程可得a₁²=2，b₁²=1，即有橢圓$C：\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$；
設(shè)橢圓E：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1，由題意可得$\frac{16}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{_{2}}^{2}}$=1，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$，c₂²=a₂²-b₂²，
解方程可得a₂=3$\sqrt{2}$，b₂=3，即有橢圓$E：\frac{y^2}{18}+\frac{x^2}{9}=1$；
（II）設(shè)（x₀，y₀）為橢圓C上一點(diǎn)，
可設(shè)x₀=cosα，y₀=$\sqrt{2}$sinα，0≤α＜2π，
由直線y=kx+m過（x₀，y₀），可得m=kx₀-y₀=kcosα-$\sqrt{2}$sinα，可得|m|≤$\sqrt{2+{k}^{2}}$，
由y=kx+m代入橢圓E的方程，可得（2+k²）x²+2kmx+m²-18=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-18}{2+{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{2km}{2+{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（{m}^{2}-18）}{2+{k}^{2}}}$，
O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即有△OMN的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=|m|•$\sqrt{\frac{18（2+{k}^{2}）-2{m}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
由S²=$\frac{18{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{2{m}^{4}}{（2+{k}^{2}）^{2}}$=-2（$\frac{{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，
由m²≤2+k²，可得$\frac{{m}^{2}}{2+{k}^{2}}$≤1，
即有S²的最大值為-2（1-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$=16，
則△OMN的面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于難題．