Question

6．在平面直角坐標系中，以0為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐際系．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），圓0的極坐際方程為p=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）將直線l與圓0的方程化為直角坐標方程，并證明直線l過定點P（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）設直線1與圓0相交于A，B兩點，求證：點P到A，B兩點的距離之積為定值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，能直線l的普通方程，把P（$\frac{1}{2}$，1）代入直線l的方程，能證明直線l過定點P（$\frac{1}{2}$，1）．由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圓0的直角坐標方程．
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，我們可以得到一個關于t的方程，由于|t|表示P點到A，B的距離，故點P到A，B兩點的距離之積為|t₁•t₂|，根據韋達定理，即可得到答案．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得直線l的普通方程為2x-2$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$-1=0．
把P（$\frac{1}{2}$，1）代入直線l的方程，得：1-2$\sqrt{3}+2\sqrt{3}-1$=0，
∴直線l過定點P（$\frac{1}{2}$，1）．
∵圓0的極坐際方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}cosθcos\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}sinθsin\frac{π}{4}$=cosθ+sinθ，
∴ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴圓0的直角坐標方程為x²+y²-x-y=0．即$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
證明：（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，
得${t}^{2}+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}$=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．
∴點P到A，B兩點的距離之積為定值．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的方程的應用，點的極坐標和直角坐標的互化，其中準確理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，極坐標方程中ρ，θ的幾何意義，是解答本題的關鍵．