Question

7．已知命題p：“?x∈[0，1]，a≥e^x”；命題q：“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$+4x₀+a=0”．若命題“p∧q”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，4]
• B． （-∞，1）∪（4，+∞）
• C． （-∞，e）∪（4，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：利用e^x在x∈[0，1]上單調(diào)遞增即可得出a的取值范圍，對(duì)于命題q利用判別式△≥0即可得出a的取值范圍，再利用命題“p∧q”是假命題，求其交集即可．

解答 解：對(duì)于命題p：?x∈[0，1]，a≥e^x，
∴a≥（e^x）_max，x∈[0，1]，
∵e^x在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，e^x取得最大值e，
∴a≥e．
對(duì)于命題q：?x₀∈R，x₀²+4x₀+a=0，
∴△=4²-4a≥0，解得a≤4．
若命題“p∧q”是假命題，
則p與q一真一假時(shí)：
得：$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{a＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{a≤4}\end{array}\right.$，解得：a＞4或a＜e，
p，q均是假命題時(shí)：
$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{a＞4}\end{array}\right.$，無(wú)解，
綜上：a∈（-∞，e）∪（4，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，考查了計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題．