Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1．
（Ⅰ）當x∈（0，x₁）時，證明：x＜f（x）＜x₁；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，證明：x₀＜$\frac{x_1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂，所以構造函數(shù)，當x∈（0，x₁）時，利用函數(shù)的性質推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化簡分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂，函數(shù)f（x）的圖象，關于直線x=x₀對稱，利用放縮法推出x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$；

解答 證明：（1）令F（x）=f（x）-x．因為x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
當x∈（0，x₁）時，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又1＞0，得
F（x）=（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+（x-x₂）]
因為0＜x＜x₁＜x₂＜1
所以x₁-x＞0，1+（x-x₂）=1+x-x₂＞1-x₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
綜上x＜f（x）＜x₁；
（2）依題意知x0=-$\frac{2a}$=$-\frac{2}$
因為x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程x²+（b-1）x+c=0的根．
∴x₁+x₂=-b+1，x₀=$-\frac{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-1}{2}$
因為x₂＜1，所以x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

點評 本小題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．