Question

16．已知函數(shù)$y=\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}，x∈[1，2]$，對(duì)于滿足1＜x₁＜x₂＜2的任意x₁，x₂，給出下列結(jié)論：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；            ②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；      ④（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
其中正確結(jié)論有②③（寫上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 可設(shè)$f（x）=\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，對(duì)于①②可構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性便可判斷x₁，x₂對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，從而判斷結(jié)論①②的正誤；而對(duì)于③④，可求導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可判斷出f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，從而判斷出③④的正誤．

解答 解：設(shè)$f（x）=\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，①設(shè)y=f（x）-x，即y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}-x$，$y′=-\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}$；
∵1＜x＜2；
∴y′＜0；
∴f（x）-x在（1，2）上單調(diào)遞減；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂；
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
②設(shè)y=$\frac{x}{f（x）}$，即$y=\frac{x}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}，y′=\frac{\sqrt{1-（x-1）^{2}}+\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}}{1-（x-1）^{2}}$；
∵1＜x＜2；
∴y′＞0；
∴$\frac{x}{f（x）}$在（1，2）上單調(diào)遞增；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}＜\frac{{x}_{2}}{f（{x}_{2}）}$；
∴x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
∴該結(jié)論正確；
③$f′（x）=-\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}$；
1＜x＜2，∴f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；
∴該結(jié)論正確，結(jié)論④錯(cuò)誤；
∴正確的結(jié)論為②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 考查構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)的單調(diào)性定義．