Question

4．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，$\frac{a}$∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域．求證：
（1）數(shù)域必含有0與1兩個(gè)數(shù)；
（2）數(shù)域必為無限集；
（3）數(shù)集A={x|x=a+b•$\sqrt{2}$，a，b∈Q}是數(shù)域．

Answer 1

分析 ①根據(jù)特例a-a=0，$\frac{a}{a}$=1，可得證；
②特例一定有1+1=2，1+2=3，推下去必然包含整數(shù)集，故得證；
③根據(jù)數(shù)域的定義證明對(duì)加，減，乘，除封閉即可．

解答 證明：①數(shù)集P有兩個(gè)元素a，b，則一定有a-a=0，$\frac{a}{a}$=1，故數(shù)域必含有0與1兩個(gè)數(shù)，故（1）得證；
（2）數(shù)域有1，一定有1+1=2，1+2=3，推下去必然包含整數(shù)集，因而為無限集，（2）得證；
（3）當(dāng)b=0是，數(shù)集A=Q，當(dāng)b≠0時(shí)，數(shù)集A表示所有含$\sqrt{2}$的同類二次根式，可知，從A中任取m，n，都有其和，差，積，商仍然在集合A中，根據(jù)定義可得數(shù)集A為數(shù)域即復(fù)數(shù)集．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)新型定義的考查，應(yīng)緊扣定義，從定義入手．