Question

15．已知函數(shù)g（x）=log_a（x²-ax）在[2，3]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)函數(shù)t=x²-ax，討論a＞1和0＜a＜1時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出滿(mǎn)足條件的a的取值范圍即可．

解答 解：根據(jù)題意得，函數(shù)t=x²-ax的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{a}{2}$；
①當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
g（x）在[2，3]單調(diào)遞增時(shí)，函數(shù)t單調(diào)增且t＞0在[2，3]上恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}≤2}\\{{2}^{2}-2a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
g（x）在[2，3]單調(diào)遞增時(shí)，函數(shù)t單調(diào)減且t＞0在[2，3]上恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{a}{2}≥2}\\{{3}^{2}-3a＞0}\end{array}\right.$，此時(shí)a不存在；
綜上，a的取值范圍是1＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0這一條件的考慮，是中檔題目．