Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）若對(duì)于任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．

若m≥0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．

若m＜0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增

（2）解：由（1）知，對(duì)任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．

所以對(duì)于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要條件是

即

設(shè)函數(shù)g（t）=et﹣t﹣e+1，則g′（t）=et﹣1．

當(dāng)t＜0時(shí)，g′（t）＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)，g（t）≤0．

當(dāng)m∈[﹣1，1]時(shí)，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

當(dāng)m＞1時(shí)，由g（t）的單調(diào)性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．

當(dāng)m＜﹣1時(shí)，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．

綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]

【解析】（1）利用f′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用f′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對(duì)任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．