Question

9．以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，X軸的正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，兩個坐標(biāo)系取相同的單位長度．已知直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsina\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜a＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程
（2）設(shè)直線L與曲線C相交于A，B兩點，|AB|=8時，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）由直線L的參數(shù)方程得tanα=$\frac{y}{x-1}$，直線過（1，0），設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入曲線C：y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用橢圓弦長公式能求出α的值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（2）∵直線L的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsina\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜a＜π），
∴tanα=$\frac{y}{x-1}$，∴直線過（1，0），設(shè)l的方程為y=k（x-1），
代入曲線C：y²=4x，消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵|AB|=8．∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-4]}$=8，解得k=±1，
當(dāng)k=1時，α=45°；當(dāng)k=-1時，α=135°．
∴α的值為45°或135°．

點評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線傾斜角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．