Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+a•e^-x（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域；
（3）當(dāng)a=1時，若函數(shù)g（x）=f（x）+|x|，求滿足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得f（0）=e⁰+a•e⁰=0，由此能求出a=-1．
（2）由a＜0，f′（x）=e^x-a•e^-x，得f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域．
（3）a=1時，函數(shù)g（x）=f（x）+|x|=e^x+e^-x+|x|是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，g（x）=e^x+e^-x+x，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增加，由此能求出滿足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x+a•e^-x（a∈R）為奇函數(shù)，
∴f（0）=e⁰+a•e⁰=0，
解得a=-1．
（2）∵a＜0，f′（x）=e^x-a•e^-x，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=e-

a

e

，f（x）_min=f（-1）=

1

e

-ae，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域為[

1

e

-ae，e-

a

e

]．
（3）a=1時，函數(shù)g（x）=f（x）+|x|=e^x+e^-x+|x|是偶函數(shù)，
且當(dāng)x≥0時，g（x）=e^x+e^-x+x，
g′（x）=e^x-e^-x+1=

e2x-1

ex

+1＞0，
即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增加，
當(dāng)2x-1≥0時，2x-1＜3，解得

1

2

≤x＜2；
當(dāng)2x-1＜0時，不等式g（2x-1）＜g（3），即g（1-2x）＜g（3），
∴1-2x＜3，解得-1＜x＜

1

2

．
綜上所述，滿足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范圍是（-1，2）．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的值域的求法，考查不等式的解集的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．