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已知函數f(x)=1+2
3
sin(π-x)cosx-2cosxsin(
π
2
-x)
(1)求函數f(x)的解析式及f(x)的周期;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,
4
]內的單調遞減區(qū)間及值域.
考點:三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算
專題:三角函數的圖像與性質
分析:(1)利用誘導公式、兩角和差的正弦公式、周期性的公式即可得出;
(2)利用正弦函數的單調性即可得出.
解答: 解:(1)函數f(x)=1+2
3
sin(π-x)cosx-2cosxsin(
π
2
-x)
=1+2
3
sinxcosx-2cos2x

=
3
sin2x-cos2x
=2sin(2x-
π
6
)
,
∴T=
2
=π.
(2)由x∈[0,
4
],可得-
π
6
≤2x-
π
6
3
,
π
2
≤2x-
π
6
3

解得
π
3
≤x≤
4

∴f(x)在區(qū)間[0,
4
]內的單調遞減區(qū)間為[
π
3
,
4
]

-
3
2
sin(2x-
π
6
)
≤1.
∴函數f(x)的值域為[-
3
,2]
點評:本題考查了誘導公式、兩角和差的正弦公式、周期性的公式、正弦函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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3
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3
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