Question

已知函數f（x）=1+2

3

sin（π-x）cosx-2cosxsin（

π

2

-x）
（1）求函數f（x）的解析式及f（x）的周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

3π

4

]內的單調遞減區(qū)間及值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用誘導公式、兩角和差的正弦公式、周期性的公式即可得出；
（2）利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）函數f（x）=1+2

3

sin（π-x）cosx-2cosxsin（

π

2

-x）
=1+2

3

sinxcosx-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．
（2）由x∈[0，

3π

4

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，
由

π

2

≤2x-

π

6

≤

4π

3

，
解得

π

3

≤x≤

3π

4

．
∴f（x）在區(qū)間[0，

3π

4

]內的單調遞減區(qū)間為[

π

3

，

3π

4

]．
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴函數f（x）的值域為[-

3

，2]．

點評：本題考查了誘導公式、兩角和差的正弦公式、周期性的公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．