Question

17．已知曲線C：y=$\frac{1}{t-x}$經(jīng)過點P（2，-1）．
（1）求曲線C在點P處的切線方程；
（2）求過點O（0，0），且與曲線C相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）代入（2，-1），可得t=1，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到所求方程；
（2）設(shè)出切點，求得切線的斜率和切線的方程，代入原點，解方程可得m，切線的斜率，進而得到切線的方程．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{1}{t-2}$=-1，
解得t=1，
即有y=$\frac{1}{1-x}$，導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
曲線C在點P處的切線斜率為1，
可得曲線C在點P處的切線方程為y+1=x-2，
即為x-y-3=0；
（2）設(shè)切點為（m，$\frac{1}{1-m}$），
可得切線的斜率為$\frac{1}{（m-1）^{2}}$，
切線的方程為y-$\frac{1}{1-m}$=$\frac{1}{（m-1）^{2}}$（x-m），
代入點（0，0），可得-$\frac{1}{1-m}$=-$\frac{m}{（m-1）^{2}}$，
解得m=$\frac{1}{2}$，切線的斜率為4，
即有與曲線C相切的切線方程為y=4x．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，注意確定切點和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．