Question

2．角α=x，且0＜x＜$\frac{π}{2}$，于是x，sinx，tanx都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)你給x一個(gè)具體的值，比較這三個(gè)實(shí)數(shù)的大小，并且判斷得到的大小關(guān)系是否對(duì)區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上都成立，為什么？

Answer 1

分析 分別取x=$\frac{π}{6}$，x=$\frac{π}{3}$，計(jì)算sinx和tanx比較大小，理由三角函數(shù)線(xiàn)得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，sinx=$\frac{1}{2}$，tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)有sinx＜x＜tanx．
sinx＜x＜tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上一定成立．
理由如下：
作單位圓O，設(shè)α終邊與單位圓交于點(diǎn)A，過(guò)A作AB⊥x軸于B，過(guò)單位點(diǎn)C（1，0）作CD⊥x軸交α終邊于D．
則AB=sinα=sinx，CD=tanα=tanx，$\widehat{AC}$=α=x，
由圖可知S_△OAC＜S_扇形OAC＜S_△OCD，
∴$\frac{1}{2}×OC×AB$＜$\frac{1}{2}×OC×\widehat{AC}$＜$\frac{1}{2}×OC×CD$，
∴AB＜$\widehat{AC}$＜CD，即sinx＜x＜tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的大小比較，作出三角函數(shù)線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．