Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin²$\frac{B}{2}$+bsin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c}{2}$．
（Ⅰ）求證：a，c，b成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC三個(gè)內(nèi)角的最大角為120°，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a+b=2c，即可得證；
（2）由a-b=4，a+b=2c，可得a＞c＞b，利用余弦定理即可解得a，b，c的值，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）證明：asin²$\frac{B}{2}$+bsin²$\frac{A}{2}$=a（$\frac{1-cosB}{2}$）+b（$\frac{1-cosA}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（a+b-acosB-bcosA）
=$\frac{1}{2}$（a+b-c）=$\frac{c}{2}$，（3分）
即a+b=2c，
∴a，c，b成等差數(shù)列；（4分）
（2）∵a-b=4，a+b=2c，
∴a＞c＞b，
∴∠A=120°．（5分）
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，（6分）
可得a=7，c=5，b=3．（7分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{15\sqrt{3}}{4}$．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，二倍角公式，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．