15.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}中,bn=an+1.
(Ⅰ)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(Ⅱ)若cn=$\frac{_{n}}{(_{n}+1)(_{n}+3)}$,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

分析 (I)數(shù)列{an}中,a1=2,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),bn=an+1.代入:bn+1=an+1+1即可證明.
(II)cn=$\frac{{3}^{n}}{({3}^{n}+1)({3}^{n}+3)}$=$\frac{{3}^{n-1}}{({3}^{n-1}+1)({3}^{n}+1)}$=$\frac{1}{2}$$(\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1})$,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 (I)證明:數(shù)列{an}中,a1=2,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),bn=an+1.
∴bn+1=an+1+1=3an+3=3(an+1)=3bn,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項與公比都為3.
∴bn=3n
(II)解:cn=$\frac{_{n}}{(_{n}+1)(_{n}+3)}$=$\frac{{3}^{n}}{({3}^{n}+1)({3}^{n}+3)}$=$\frac{{3}^{n-1}}{({3}^{n-1}+1)({3}^{n}+1)}$=$\frac{1}{2}$$(\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1})$,
∴數(shù)列{cn}的前n項和Sn=$\frac{1}{2}[(\frac{1}{2}-\frac{1}{3+1})$+$(\frac{1}{3+1}-\frac{1}{{3}^{2}+1})$+…+$(\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1})]$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n}+1})$.

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.四邊形ABCD中,設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$,那么$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$=( 。
A.$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$B.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$C.$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$D.不能確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.已知17x=100,1.7y=100,求$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,1)$,$\overrightarrow$=($\sqrt{2}$,0),$\overrightarrow{c}$=(-2,$\sqrt{2}$),則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$的位置關(guān)系是($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$)⊥($\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分圖象如圖所示,則g(x)=f(x)+f($\frac{π}{4}$+x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{24}$,kπ+$\frac{11π}{24}$],k∈Z.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

20.已知雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,過點F1并且垂直于x軸的直線為l,若過原點O和F2并和直線l相切的圓的半徑等于點F2到雙曲線C的兩條漸近線的距離之和,則雙曲線C的離心率為$\frac{4\sqrt{7}}{7}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.已知多項式(1+ax)3(3-2x)4的展開式的各項系數(shù)和為27.則其展開式中按x的降冪排列的第2項系數(shù)等于-576.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.若復數(shù)z滿足:iz=i+z,則z=( 。
A.1+iB.1-iC.$\frac{1+i}{2}$D.$\frac{1-i}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

2.某初級中學有學生111人,其中一年級108人,二、三年級各81人,現(xiàn)要利用抽樣方法取10人參加某項調(diào)查,考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時,將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…,270;使用系統(tǒng)抽樣時,將學生統(tǒng)一隨機編號1,2,…,270,并將整個編號依次分為10段  如果抽得號碼有下列四種情況:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中,正確的是(  )
A.②、③都不能為系統(tǒng)抽樣B.②、④都不能為分層抽樣
C.①、③都可能為分層抽樣D.①、④都可能為系統(tǒng)抽樣

查看答案和解析>>

同步練習冊答案