Question

7．已知多項(xiàng)式（1+ax）³（3-2x）⁴的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為27．則其展開式中按x的降冪排列的第2項(xiàng)系數(shù)等于-576．

Answer 1

分析 令x=1，利用展開式中各項(xiàng)系數(shù)和求出a的值；再求出（1+2x）³（3-2x）⁴展開式中含x⁶項(xiàng)的系數(shù)即可．

解答 解：多項(xiàng)式（1+ax）³（3-2x）⁴的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為27，
令x=1，得（1+a）³（3-2）⁴=27，
解得a=2；
所以（1+2x）³（3-2x）⁴展開式中按x的降冪排列的第2項(xiàng)是含x⁶項(xiàng)，
是第一個(gè)因式中3個(gè)2x與第二個(gè)因式中3個(gè)（-2x）的積，
加上第一個(gè)因式中2個(gè)2x與第二個(gè)因式中4個(gè)（-2x）的積，
即（2x）³•${C}_{4}^{3}$•3•（-2x）³+${C}_{3}^{2}$•（2x）²•（-2x）⁴=-768x⁶+192x⁶=-576x⁶，
故系數(shù)為-576．
故答案為：-576．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用賦值法求多項(xiàng)式展開式系數(shù)和的問題，是基礎(chǔ)題目．