Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn)F₁并且垂直于x軸的直線為l，若過(guò)原點(diǎn)O和F₂并和直線l相切的圓的半徑等于點(diǎn)F₂到雙曲線C的兩條漸近線的距離之和，則雙曲線C的離心率為$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點(diǎn)和漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切的條件：d=r，可得4b=3c，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得點(diǎn)F₂到雙曲線C的兩條漸近線的距離的和為2•$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2b，
過(guò)原點(diǎn)O和F₂并和直線l相切的圓的半徑為r=$\frac{c}{2}$+c=$\frac{3c}{2}$，
由題意可得2b=$\frac{3c}{2}$，即9c²=16b²=16（c²-a²），
可得c²=$\frac{16}{7}$a²，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和漸近線方程，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．