Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow$，|$\overrightarrow$|=1．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦；
（2）對任意實(shí)數(shù)t，恒有|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，求證：（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）只要將等式平方，展開整理得到數(shù)量積，利用數(shù)量積公式可求夾角的余弦值；
（2）對已知不等式平方化簡得到關(guān)于t的二次不等式恒成立，借助于判別式得到證明．

解答 解：（1）將|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|兩邊平方，得，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²，展開得${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦為：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{3}{2}}{2×1}=\frac{3}{4}$…．（6分）
（2）將|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|平方展開得${\overrightarrow b^2}{t^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow bt+2\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}≥0$恒成立，
所以$△=4{（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}-8（\overrightarrow a•\overrightarrow b）{\overrightarrow b^2}+4{（{\overrightarrow b^2}）^2}=4{（\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}）^2}≤0$
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=0$，
∴$\overrightarrow b•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=0∴\overrightarrow b⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用、由模的關(guān)系判斷向量的關(guān)系；關(guān)鍵是明確向量的平方與模的平方相等的運(yùn)用．