Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且|F₂M|+|F₂N|=5，|MN|=3，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F2且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在實(shí)數(shù)t，使得$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=t恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，結(jié)合離心率，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理求得弦長，化簡，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵|F₂M|+|F₂N|=5，|MN|=3，
∴4a=8，
∴a=2，
∵橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不等于零時(shí)，
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程是y=k（x-1），
代入橢圓方程并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
根據(jù)弦長公式，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
以-$\frac{1}{k}$代換k，得|CD|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+4}$
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$
當(dāng)直線AB的斜率不存在或等于零時(shí)，|AB|，|CD|一個(gè)是橢圓的長軸長度，一個(gè)是通徑長度，∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$
綜上所述，故存在實(shí)數(shù)t=$\frac{7}{12}$，使得$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=t恒成立．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．