Question

已知兩條直線l₁：y=m和l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A、B，l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點C、D．記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a、b．當(dāng)m變化時，求

b

a

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意寫出x_A=(

1

2

)m，x_B=2^m，x_C=(

1

2

)

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

，從而得到a=|x_A-x_C|=|(

1

2

)m-(

1

2

)

8

2m+1

|，b=|x_B-x_D|=|2^m-2

8

2m+1

|，化簡

b

a

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2

8

2m+1

•2^m=2

8

2m+1

+m，轉(zhuǎn)化為討論

8

2m+1

+m的最值即可．

解答： 解：由題意得x_A=(

1

2

)m，x_B=2^m，x_C=(

1

2

)

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

，
所以a=|x_A-x_C|=|(

1

2

)m-(

1

2

)

8

2m+1

|，
b=|x_B-x_D|=|2^m-2

8

2m+1

|，
即

b

a

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2

8

2m+1

•2^m=2

8

2m+1

+m．
因為

8

2m+1

+m=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥4-

1

2

=

7

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

（2m+1）=

8

2m+1

，即m=

3

2

時取等號．
所以，

b

a

的最小值為2

7

2

=8

2

．

點評：本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意等號成立的條件，屬于中檔題．