Question

17．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=ax-b，若對(duì)任意x∈[-1，1]，有0≤f（x）≤1，則$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$的取值范圍為（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，0]
• B． [-$\frac{4}{5}$，0]
• C． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{7}$]
• D． [-$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{7}$]

Answer 1

分析 根據(jù)不等式成立轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{0≤f（1）≤1}\\{0≤f（-1）≤1}\end{array}\right.$，設(shè)$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$=λ，轉(zhuǎn)化為直線方程，求出直線過定點(diǎn)D（-$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{5}$），結(jié)合直線向量公式進(jìn)行化簡，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=ax-b，若對(duì)任意x∈[-1，1]，有0≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤f（1）≤1}\\{0≤f（-1）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤a-b≤1}\\{0≤-a-b≤1}\end{array}\right.$，
設(shè)$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$=λ，即3a+b+1=λ（a+2b-2），
即l：3a+b+1-λ（a+2b-2）=0，
則（1-2λ）b+（3-λ）a+1+2λ=0，
得b=$\frac{λ-3}{1-2λ}$a-$\frac{λ+2}{1-2λ}$，直線斜率k=$\frac{λ-3}{1-2λ}$
則由$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+1=0}\\{a+2b-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{5}}\\{b=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，即直線過定點(diǎn)D（-$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{5}$），
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則DA的斜率最小，DC的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{b-a=0}\\{-a-b=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{-a-b=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
則k_DA=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}}{-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}$=-$\frac{19}{3}$，k_DC=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}}{\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}$=-$\frac{19}{13}$，
則-$\frac{19}{3}$≤$\frac{λ-3}{1-2λ}$≤-$\frac{19}{13}$，即$\frac{19}{3}$≤$\frac{λ-3}{2λ-1}$≤$\frac{19}{13}$，
即$\frac{13}{19}$≤$\frac{2λ-1}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，即$\frac{13}{19}$≤$\frac{2（λ-3）+5}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，
即$\frac{13}{19}$≤2+$\frac{5}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，$-\frac{35}{19}$≤$\frac{5}{λ-3}$≤=$\frac{25}{19}$，
-$\frac{7}{16}$≤$\frac{1}{λ-3}$≤-$\frac{5}{19}$，
即-$\frac{19}{5}$≤λ-3≤-$\frac{19}{7}$，
得-$\frac{4}{5}$≤λ≤$\frac{2}{7}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．