Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤（2x+1）π，可解得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x≤$\frac{π}{2}$，可求-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，從而可得$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤2，即可求出f（x）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x
=-$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+1+cos2x…2分
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1…4分
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π…5分
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤（2k+1）π，可解得k$π-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
所以單調(diào)減區(qū)間是：[k$π-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z…8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$）+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1．  …（10分）
因?yàn)?≤x≤$\frac{π}{2}$，
所以-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
所以-$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，…（12分）
因此$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤2，即g（x）的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，2]． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)恒等變換，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．