Question

16．已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，-1），若圓x²+y²=r²（r＞0）上恰有兩點(diǎn)M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 先求得|AB|=5，根據(jù)題意可得兩點(diǎn)M，N到直線AB的距離為2．求出AB的方程為3x-4y+5=0，當(dāng)圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為2時(shí)，求得r的值，即可求得滿足條件的r的取值范圍．

解答 解：由題意可得|AB|=$\sqrt{（-3-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=5，根據(jù)△MAB和△NAB的面積均為5，
可得兩點(diǎn)M，N到直線AB的距離為2．
由于AB的方程為$\frac{y+1}{2+1}=\frac{x+3}{1+3}$，即3x-4y+5=0．
若圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為2，
則有圓心（0，0）到直線AB的距離$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=r-2，解得r=3，
又圓上的點(diǎn)到AB的距離最大值為1+r（只有一個(gè)點(diǎn)），故當(dāng)r≤1時(shí)1+r≤2，不可能存在兩點(diǎn)到AB的距離都是2．
故r＞1
此時(shí)AB與圓相交
要滿足題意，則r-1＜2得r＜3
∴1＜r＜3
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．