Question

若對任意一個三角形，其三邊長為a，b，c（a≥b≥c），且a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，若f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”．若h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函數(shù)．則M的最大值為（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  3π

  4

• C、

  5

  6

  π
• D、π

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①當(dāng)M＞

5π

6

時，通過舉反例可得此時，h（x）=sinx，x∈（0，M）不是保三角形函數(shù)．②當(dāng)M=

5π

6

時，對于任意的三角形的三邊長a、b、c∈（0，

5π

6

），分a+b+c≥2π、a+b+c＜2π兩種情況，證明sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長，可得當(dāng)M=

5π

6

時，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函數(shù)，從而得到M的最大值為

5π

6

，從而得出結(jié)論．

解答： 解：M的最大值是

5π

6

．
①當(dāng)M＞

5π

6

時，取a=

5π

6

=b，c=

π

2

，顯然這3個數(shù)屬于區(qū)間（0，M），且可以作為某個三角形的三邊長，
但這3個數(shù)的正弦值

1

2

、

1

2

、1顯然不能作為任何一個三角形的三邊，故此時，h（x）=sinx，x∈（0，M）不是保三角形函數(shù)．
②當(dāng)M=

5π

6

時，對于任意的三角形的三邊長a、b、c∈（0，

5π

6

），
若a+b+c≥2π，則a≥2π-b-c＞2π-

5π

6

-

5π

6

=

π

3

，即 a＞

π

3

，同理可得b＞

π

3

，c＞

π

3

，∴a、b、c∈（

π

3

，

5π

6

），
∴sina、sinb、sinc∈（

1

2

，1]．
由此可得 sina+sinb＞

1

2

+

1

2

=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．
若a+b+c＜2π，則

a+b

2

+

c

2

＜π，
當(dāng)

a+b

2

≤

π

2

時，由于a+b＞c，∴0＜

c

2

＜

a+b

2

≤

π

2

，∴0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1．
當(dāng)

a+b

2

＞

π

2

時，由于a+b＞c，∴0＜

c

2

＜

a+b

2

＜

π

2

，∴0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

＜1．
綜上可得，0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1．
再由|a-b|＜c＜

5π

6

，以及y=cosx在（ 0，π）上是減函數(shù)，可得 cos

a-b

2

=cos

|a-b|

2

＞cos

c

2

＞cos

5π

12

＞0，
∴sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞2sin

c

2

cos

c

2

=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．
故當(dāng)M=

5π

6

時，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函數(shù)，故M的最大值為

5π

6

，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查新定義，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的層次，屬于中檔題．