Question

5．已知函數(shù)f（x）在R上有定義，且滿足f（x）+xf（1-x）=x．
（1）試求f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用函數(shù)方程的思想，將原式中的x換為1-x，消去f（1-x），解方程即可得到f（x）的解析式；
（2）因為f（x）＞a恒成立，即f（x）_min＞a．討論x=0，x≠0時，函數(shù)f（x）的最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）記f（x）+xf（1-x）=x①，
將等式①中的x替換為1-x得到f（1-x）+（1-x）f（x）=1-x②，
將②式乘x，得xf（1-x）+x（1-x）f（x）=x（1-x）③，
①-③得f（x）-x（1-x）f（x）=x-x（1-x），
整理得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$．
（2）①當x=0時，f（x）=0；
②當x≠0時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1}$，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+1$，
令g（x）中$\frac{1}{x}$=t，所以g（x）=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
因為g（x）$≥\frac{3}{4}$，所以0＜f（x）≤$\frac{3}{4}$，
綜合①②可得0≤f（x）≤$\frac{3}{4}$，
因為f（x）＞a恒成立，即f（x）_min＞a．
因此a＜0．即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法，注意運用函數(shù)方程轉(zhuǎn)化思想，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論和二次函數(shù)的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．