Question

6．已知函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后與函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象重合．已知△ABC中三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（1）求f（x）的最小正周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（A）=$\frac{1}{2}$，tanC=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：f（x）=$g（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$sin2x．再利用正弦函數(shù)的周期計(jì)算公式、單調(diào)性即可得出．
（2）f（A）=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA，解得A=$\frac{π}{2}$．由于tanC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}$，a²=b²+c²，c=$\sqrt{6}$，解出即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后與函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象重合．
g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）=$g（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin[2（x-\frac{π}{4}）]$-$sin[2（x-\frac{π}{4}）-\frac{π}{6}]$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$sin（2x-\frac{2π}{3}）$=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的最小正周期T=π，
單調(diào)遞增區(qū)間為：[$kπ-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z．
（2）f（A）=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA，∴sinA=1，A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{2}$．
∵tanC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}$，a²=b²+c²，c=$\sqrt{6}$，
解得b=$\sqrt{3}$，a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其變換、三角函數(shù)求值、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．