Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得，c=

2

，a=

3

，則b²=a²-c²=1，從而得到橢圓方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）討論當(dāng)P在直線x=±

3

上時，顯然不垂直；當(dāng)P不在直線x=±

3

上時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用判別式為0，化簡整理，得到關(guān)于k的方程，求出兩根之積，判斷是否為-1，即可判斷
l₁，l₂垂直．

解答： 解：（1）由題意可得，c=

2

，

b2+c2

=a=

3

，
則b²=a²-c²=1，
則橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1．
其“準(zhǔn)圓”方程為x²+y²=4．
（2）①設(shè)P（±

3

，±1），則過P的直線l₁：x=±

3

，
則l₂的斜率k≠0，即它們不垂直；
②設(shè)P（m，n）（m≠±

3

），m²+n²=4，過P的直線為y-n=k（x-m），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到
（1+3k²）x²+6k（n-km）x+3（n-km）²-3=0，
由于直線與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，則△=0，
即36k²（n-km）²-4（1+3k²）•3[（n-km）²-1]=0，
化簡得，（3-m²）k²+2kmn+1-n²=0，
k₁k₂=

1-n2

3-m2

=

1-(4-m2)

3-m2

=-1．
即l₁，l₂垂直．
綜上，當(dāng)P在直線x=±

3

上時，l₁，l₂不垂直；
當(dāng)P不在直線x=±

3

上時，l₁，l₂垂直．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了兩直線的位置關(guān)系，直線和橢圓的位置關(guān)系，方法是聯(lián)立直線和圓橢圓方程，利用整理后的一元二次方程的判別式求解．此題屬中檔題．