Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³-x的圖象是曲線C
（1）求曲線C在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的曲線C的切線方程；
（3）假設(shè)a＞0，如果過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線C的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），根據(jù)切點(diǎn)為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出切線方程即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，然后求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可；
（3）設(shè)切線過(guò)點(diǎn)（a，b），則存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證．

解答 解：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線斜率為3t²-1，切點(diǎn)為（t，t³-t），
即有切線方程為：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）由f′（x）=3x²-1．設(shè)切線的斜率為k，設(shè)切點(diǎn)是（x₀，y₀），
則有y₀=x₀³-x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²-1，
切線的方程為y-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（x-x₀），
代入（-1，0），可得-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（-1-x₀），
解得x₀=-1或x₀=$\frac{1}{2}$，
∴所求曲線的切線方程為：x+4y+1=0或2x-y+2=0；
（3）證明：如果有一條切線過(guò)點(diǎn)（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g'（t）變化情況如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增	極大值a+b	減	極小值b-f（a）	增

由g（t）的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時(shí)，
方程g（t）=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a+b=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=0，t=$\frac{3a}{2}$，
即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)b-f（a）=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=-$\frac{1}{2}$a，
即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
綜上，如果過(guò)（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，
即g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞0}\\{b-f（a）＜0}\end{array}\right.$，
即-a＜b＜f（a）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)的切線”的區(qū)別，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．