Question

2．函數(shù)f（x）=$\frac{b-x}{a{x}^{2}+1}$在定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$
（1）試確定函數(shù)f（x）的解析式
（2）用定義證明：f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)
（3）若f（a-1）+f（1-2a）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行求解即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{b-x}{a{x}^{2}+1}$在定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0，
則f（x）=$\frac{-x}{a{x}^{2}+1}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{5}$
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}+1}$═$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}+1}$=-$\frac{2}{5}$，即a+4=5，則a=1，
解得a=1，即f（x）=$\frac{-x}{{x}^{2}+1}$．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{-{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{-{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}（{{x}_{1}}^{2}+1）-{x}_{1}（{{x}_{2}}^{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0，
故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）若f（a-1）+f（1-2a）＞0，
則f（a-1）＞-f（1-2a），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴-f（1-2a）=f（2a-1），
則不等式等價為f（a-1）＞f（2a-1），
∵f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{a-1＜2a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，則0＜a＜1．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的求解，函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．