Question

已知點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若

OP

=x

OA

+y

OB

，則

1

x

+

1

y

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：想著能否用其它的變量來表示x，y，根據(jù)向量的加法運(yùn)算，.

OP

=

OA

+

AP

，根據(jù)共線向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ使

AP

=λ

AB

=λ(OB-OA)，所以

OP

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

．所以根據(jù)共面向量基本定理得到：

x=1-λ y=λ

，所以

1

x

+

1

y

=

1

1-λ

+

1

λ

，所以求關(guān)于變量λ的函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+λ

AB

=(1-λ)

OA

+λ

OB

（0＜λ＜1）；
∴

x=1-λ y=λ

；
∴

1

x

+

1

y

=

1

1-λ

+

1

λ

=

1

-(λ- 1 2 )2+ 1 4

；
∵0＜λ＜1；
∴-

1

2

＜λ-

1

2

＜

1

2

∴0＜-(λ-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

；
∴x=

1

2

時(shí)，

1

x

+

1

y

最小為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的加法運(yùn)算，共線向量基本定理，共面向量基本定理，二次函數(shù)的值域，要求

1

t

的最小值，只需求t的最大值即可．