Question

20．某地?cái)M建一座長為640米的大橋AB，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門測算，兩端橋墩A、B造價(jià)總共為100萬元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米時(shí)（其中64＜x＜100），中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為$\frac{80}{3}\sqrt{x}$萬元，橋面每1米長的平均造價(jià)為（2+$\frac{x\sqrt{x}}{640}$）萬元．
（1）試將橋的總造價(jià)表示為x的函數(shù)f（x）；
（2）為使橋的總造價(jià)最低，試問這座大橋中間（兩端橋墩A、B除外）應(yīng)建多少個(gè)橋墩？

Answer 1

分析 （1）設(shè)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米，推出橋的總造價(jià)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的極值點(diǎn)，求出最值即可．

解答 解：（1）由橋的總長為640米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米，知中間共有$（\frac{640}{x}-1）$個(gè)橋墩，
于是橋的總造價(jià)$f（x）=640（2+\frac{{x\sqrt{x}}}{640}）+\frac{80}{3}\sqrt{x}（\frac{640}{x}-1）+100$，
即$f（x）={x^{\frac{3}{2}}}+\frac{640×80}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}-\frac{80}{3}{x^{\frac{1}{2}}}+1380$=${x^{\frac{3}{2}}}+\frac{51200}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}-\frac{80}{3}{x^{\frac{1}{2}}}+1380$（64＜x＜100）…（7分）
（表達(dá)式寫成$f（x）=x\sqrt{x}+\frac{51200}{{3\sqrt{x}}}-\frac{80}{3}\sqrt{x}+1380$同樣給分）
（2）由（1）可求$f'（x）=\frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{640×40}{3}{x^{-\frac{3}{2}}}-\frac{40}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}$，
整理得$f'（x）=\frac{1}{6}{x^{-\frac{3}{2}}}（9{x^2}-80x-640×80）$，
由f′（x）=0，解得x₁=80，${x_2}=-\frac{640}{9}$（舍），
又當(dāng)x∈（64，80）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（80，100）時(shí)，f′（x）＞0，
所以當(dāng)x=80，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為$\frac{640}{80}-1=7$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．