Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為8，且離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F₁的直線l交橢圓于M、N兩點，且該橢圓上存在點P，使得四邊形MONP（圖形上的字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=4，結(jié)合離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$可求c，再由隱含條件求得b，可得橢圓的方程；
（2）求出橢圓的左焦點，設(shè)直線l：x=my-2$\sqrt{2}$，點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用點P（x₁+x₂，y₁+y₂）在橢圓上，求出m，可得直線l的方程．

解答 解：（1）由題意知2a=8，a=4，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$c=2\sqrt{2}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由（1）可求得橢圓的左焦點為F1（-2$\sqrt{2}$，0），
易知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l：x=my-2$\sqrt{2}$，點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∵四邊形MONP為平行四邊形，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
則P（x₁+x₂，y₁+y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}-4\sqrt{2}my-8=0$，
△=64（m²+1）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{8}{{m}^{2}+2}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=m（{y}_{1}+{y}_{2}）-4\sqrt{2}$=$\frac{-8\sqrt{2}}{{m}^{2}+2}$，
∵點P（x₁+x₂，y₁+y₂）在橢圓上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}=1$，即$\frac{（\frac{-8\sqrt{2}}{{m}^{2}+2}）^{2}}{16}+\frac{（\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}}{8}=1$，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為x=±$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，設(shè)而不求是簡化解題過程的關(guān)鍵，是中檔題．