Question

【題目】已知, .

（1）求函數(shù)的增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并說明理由；

（3）設(shè)正實數(shù)， 滿足，當(dāng)時，求證：對任意的兩個正實數(shù)， 總有.

(參考求導(dǎo)公式： )

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)的增區(qū)間；

（2）由（1）知：若函數(shù)在的上為增函數(shù)，函數(shù)有至多有一個零點，不合題意.若 可知，要使得函數(shù)有兩個零點，則 ，以下證明函數(shù)有兩個零點即可；（3）證明：不妨設(shè)，以為變量令，

則可以證明 ，所以在單調(diào)遞增；因為所以

這樣就證明了.

試題解析：(1)由已知，令，

當(dāng)時， ，函數(shù)的增區(qū)間

若 令，

函數(shù)的增區(qū)間為

綜合以上：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間；若增區(qū)間為

（2）由（1）知：若函數(shù)在的上為增函數(shù)，函數(shù)有至多有一個零點，不合題意。

若 當(dāng)， ，函數(shù)在的上為減函數(shù)

當(dāng) ，函數(shù)在的上為增函數(shù)

要使得函數(shù)有兩個零點，則

下證明： 函數(shù)有兩個零點

而，所以在存在惟一零點；

又

令 所以在上遞增，

所以的 所以在也存在惟一零點；

綜上： 函數(shù)有兩個零點

方法2：(先證： 有)

而

，所以在也存在惟一零點；

綜上： ，函數(shù)有兩個零點。

（3）證明：不妨設(shè)，以為變量

令，

則

令，則

因為，所以；即在定義域內(nèi)遞增。

又因為且所以即，所以；又因為，所以

所以在單調(diào)遞增；因為所以

即