Question

【題目】已知.

（I）若，求曲線在點處的切線方程.

（II）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（III）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ) ．

【解析】試題分析：(1)由題意易得， ，根據(jù)點斜式得到曲線在點處的切線方程；（2），對分類討論明確相應(yīng)不等式的解集，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）不等式恒成立等價于在上恒成立，變量分離即在上恒成立。轉(zhuǎn)求的最大值即可.

試題解析：

（I）∵，∴，

∴，

∴，

又，所有切點坐標(biāo)為．

∴所求切線方程為，

即．

（II），

由，得或．

（）當(dāng)時，由，得；

由，得或，

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為和．

（）當(dāng)時，由，得；

由，得或．

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為和．

綜上：當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；

當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為和．

（III）依題意，不等式恒成立，

等價于在上恒成立，

可得在上恒成立，

設(shè)，

則．

令，得， （舍），

當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ，

當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

∴當(dāng)時， 取得最大值，

，∴．

∴的取值范圍是．