Question

20．已知函數(shù)f（x）=-ax²+lnx（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若?x∈（1，+∞），f（x）＞-a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=-2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），可得當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，求得導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，若x∈（1，+∞），則f（x）+a=-ax²+lnx+a=a（1-x²）+lnx＞0，滿足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）判斷原函數(shù)在（0，1）的單調(diào)性，進(jìn)一步求出最大值，利用最大值大于-a求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=-ax²+lnx，得f′（x）=-2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得${x}_{1}=-\sqrt{\frac{1}{2a}}$=-$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$＞0，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}，+∞$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，若x∈（1，+∞），則f（x）+a=-ax²+lnx+a=a（1-x²）+lnx＞0，滿足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知，當(dāng)$\frac{\sqrt{2a}}{2a}≤1$，即a$≥\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，此時(shí)f（x）_max=f（1）=-a，-a＞-a不成立；
當(dāng)$\frac{\sqrt{2a}}{2a}＞1$，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（1，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上為增函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上為減函數(shù)，
此時(shí)$f（x）_{max}=f（\frac{\sqrt{2a}}{2a}）$=$-a•\frac{1}{2a}+ln\sqrt{\frac{1}{2a}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2a$，
由$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2a＞-a$，得1+ln2a＜2a，
令g（a）=1+ln2a-2a，則g′（a）=$\frac{1}{a}-2=\frac{1-2a}{a}＞0$，
則g（a）在（0，$\frac{1}{2}$）上為增函數(shù)，∴g（a）＜g（$\frac{1}{2}$）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$．
綜上，若?x∈（1，+∞），使得f（x）＞-a，a的取值范圍為a$＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．