Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中，a_n≠0，a₁為常數(shù)，且-a₁，S_n，a_n+1成等差數(shù)列．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由題意可得，2S_n=a_n+1-a₁，進(jìn)一步得到2S_n-1=a_n-a₁（n≥2），與原遞推式作出后可得數(shù)列{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由-a₁，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，得
2S_n=a_n+1-a₁   ①，
∴2S_n-1=a_n-a₁（n≥2）②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）．
∵a_n≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$（n≥2）．
由①得，2a₁=a₂-a₁，即a₂=3a₁，滿足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
則${a}_{n}={a}_{1}•{3}^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查了等比關(guān)系的確定，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．