Question

6．（1）已知$\overrightarrow{α}$=（sinα，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（cosα，1），且0≤α≤2π，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求角α的值；
（2）已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是同一平面內(nèi)的二個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2），若|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的平行的條件得到tanα=$\sqrt{3}$，即可求出角α的值，
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算和模的運(yùn)算，以及向量垂直的條件得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{5}{2}$，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{α}$=（sinα，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（cosα，1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴sinα-$\sqrt{3}$cosα=0，
∴tanα=$\sqrt{3}$，
∵0≤α≤2π，
∴α=$\frac{π}{3}$，或α=$\frac{4π}{3}$，
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴2|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow$|²+3（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{5}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-1，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積判斷兩個(gè)平面垂直平行條件的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．