Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$═（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1）
（1）求|$\overrightarrow{a}$|；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$是平行向量，求向量$\overrightarrow{a}$和θ：
（3）若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$方向相反，求tanθ+cotθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量共線定理可得：tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），對(duì)k分類討論即可得出；
（3）向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$方向相反，可得cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，即可得出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=1；
（2）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，
∴$\sqrt{3}sinθ$+cosθ=0，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得θ=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（3）∵向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$方向相反，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanθ+cotθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量公式定理、三角函數(shù)求值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．