Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點P到左、右兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若y軸上一點$M（0，\frac{1}{3}）$滿足|MA|=|MB|，求直線l斜率k的值；
（2）是否存在這樣的直線l，使S_△ABO的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（其中O為坐標原點）？若存在，求直線l方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，根據(jù)離心率，求出c，可得b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）（1）設直線的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理、中點坐標公式，可得AB的中點坐標，分類討論，利用|MA|=|MB|，可得方程，即可求直線l斜率k的值；
（2）分類討論，求出S_△ABO，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2}$…（1分）
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\sqrt{2}=1$，
∴b²=a²-c²=2-1=1…（2分）
橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（3分）
（Ⅱ）已知F₂（1，0），設直線的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化簡得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2k=\frac{-2k}{{1+2{k^2}}}$…（4分）
∴AB的中點坐標為$G（\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{-k}{{1+2{k^2}}}）$…（5分）
（1）k=0時，滿足條件，此時AB的中垂線為x=0；
當k≠0時，∵|MA|=|MB|，∴${k_{MG}}=\frac{{\frac{-k}{{1+2{k^2}}}-\frac{1}{3}}}{{\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-0}}=\frac{{-3k-1-2{k^2}}}{{6{k^2}}}=\frac{-1}{k}$，
整理得2k²-3k+1=0，解得k=1或$k=\frac{1}{2}$…（7分）
（2）直線l斜率不存在時，直線方程為x=1，代入橢圓方程，此時y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線l斜率不存在時時，S_△ABO=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{4（{k}^{2}+\frac{1}{2}）^{2}}}$
∵k∈R，k≠0，∴$4{（{k^2}+\frac{1}{2}）^2}＞1$，∴${S_{△ABO}}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
綜上，${S_{△ABOmax}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴滿足題意的直線存在，方程為x=1．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，有難度．