Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對于任意的x₁，x₂∈[-2，+∞），x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪{0}．

Answer 1

分析 首先由函數(shù)單調(diào)性定義，判斷f（x）=x|x-a|在[-2，+∞）上單調(diào)遞增；
然后把a分成a≤-2與a＞-2兩種情況分別進行檢驗；
應(yīng)當(dāng)注意的是當(dāng)a＞-2時，應(yīng)當(dāng)分類討論，討論a是否為0，否則會使答案漏解．

解答 解：由題意知，對于任意的x₁，x₂∈[-2，+∞），x₁≠x₂，
不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，
∴f（x）=x|x-a|在[-2，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)a≤-2時，
若x∈[-2，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，其對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
此時$\frac{a}{2}$≤-2，所以f（x）在[-2，+∞）上是遞增的；
即a≤-4時滿足題意；
（2）當(dāng)a＞-2且a≠0時，
①若x∈[a，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，其對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，所以f（x）在[a，+∞）上是遞增的；
②若x∈[-2，a），則f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，所以f（x）在[$\frac{a}{2}$，a）上是遞減的，
因此f（x）在[-2，a）上必有遞減區(qū)間．
故可知當(dāng)a＞-2且a≠0時不成立，故舍去；
（3）當(dāng)a=0時，可知函數(shù)為f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，符合題意單調(diào)遞增的要求，故成立
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪{0}．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，考查了分類討論的思想方法，正確的進行分類討論是解好本題的關(guān)鍵．