Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作直線l，使l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且交y軸于Q點(diǎn)，若|AQ|=|BP|．求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程，利用已知條件轉(zhuǎn)化為PQ的中點(diǎn)與AB的中點(diǎn)重合，求解直線的斜率，即可得到直線方程．

解答 解：設(shè)直線l方程為：y=k（x-1），橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作直線l，使l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且交y軸于Q點(diǎn)，若|AQ|=|BP|．可知PQ的中點(diǎn)與AB的中點(diǎn)重合，Q（0，-K），PQ的中點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，-$\frac{k}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，可得$\frac{{x}^{2}}{2}$+k²（x-1）²=1，
可得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由題意可得$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=1$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線l的方程：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x$$+\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．