Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x－ax－b，若f(x)≥0恒成立，則ab的最大值為(　　)

A.  B．e²  C．e  D.

Answer 1

D

[解析]　利用導(dǎo)數(shù)求解．當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝e^x－ax－b在R上單調(diào)遞增，f(x)≥0不恒成立，所以a≤0舍去．當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝e^x－a＝0解得x＝ln a，且當(dāng)x<ln a時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln a時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)≥0恒成立，即f(x)_min＝f(ln a)＝a－aln a－b≥0，所以b≤a－aln a，ab≤a²－a²ln a，a>0.令y＝x²－x²ln x，x>0，則y′＝2x－2xln x－x＝x(1－2ln x)，x>0，由y′＝0解得x＝，且x∈(0，)時(shí)，y′>0，函數(shù)y＝x²－x²ln x單調(diào)遞增；x∈(，＋∞)時(shí)，y′<0，函數(shù)y＝x²－x²ln x單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)y＝x²－x²ln x取得最大值e－e＝e，所以ab≤a²－a²ln a≤e，即ab的最大值是e，故選D.