Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=ca_n²+1-c，n∈N^*，其中常數(shù)c∈（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）若a₂＞a₁，求a₁的取值范圍；
（2）若a₁∈（0，1），求證：對任意n∈N^*，都有a_n∈（0，1）；
（3）若a₁∈（0，1），設(shè)數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n＞n-$\frac{2}{1-2c}$．

Answer 1

分析 （1）令n=2，由a₂＞a₁，結(jié)合條件c∈（0，$\frac{1}{2}$），由二次不等式的解法即可得到；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證；
（3）先證n=1成立；再證當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=ca_n²+1-c，可得a_n＞1-（2c）^n-1＞0，運(yùn)用不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 解：（1）由a_n+1=ca_n²+1-c，可得a₂=ca₁²+1-c，
由a₂＞a₁，可得（a₁-1）（a₁+1-$\frac{1}{c}$）＞0，
由c∈（0，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{1}{c}$＞2，
則a₁＞$\frac{1}{c}$-1或a₁＜1；
（2）證明：對n∈N^*用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n∈（0，1），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁∈（0，1）．假設(shè)a_k∈（0，1）（k≥1）
則a_k+1=ca_k²+1-c＜c+1-c=1，且a_k+1=ca_k²+1-c＞1-c＞0，
∴a_k+1∈（0，1），由數(shù)學(xué)歸納法知a_n∈（0，1）對所有n∈N^*成立；
（3）證明：由于0＜c＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁²＞1-$\frac{2}{1-2c}$=$\frac{-1-2c}{1-2c}$，結(jié)論成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=ca_n²+1-c，即有1-a_n+1=c（1-a_n）（1+a_n）＜2c（1-a_n），
即1-a_n＜2c（1-a_n-1）＜…＜（2c）^n-1，
a_n＞1-（2c）^n-1＞0
∴a_n²＞（1-（2c）^n-1）²=1-2（2c）^n-1+（2c）^2（n-1）＞1-2（2c）^n-1
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=a₂²+…+a_n²＞n-1-2[2c+（2c）²+…+（2c）^n-1]
=n-1-2•$\frac{2c[1-（2c）^{n-1}]}{1-2c}$
=n-1-2•$\frac{2c-（2c）^{n}}{1-2c}$=n+1-2•$\frac{1-（2c）^{n}}{1-2c}$＞n+1-$\frac{2}{1-2c}$＞n-$\frac{2}{1-2c}$．
故S_n＞n-$\frac{2}{1-2c}$成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選用證明方法．