Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x₁，x₂有f（x₁）+f（x₂）=2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）•f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$），且f（$\frac{π}{2}$）=0，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)，且f（π-x）=-f（x）

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x₁=x₂=π，即可求f（0）的值；
（2）令x₁=x，x₂=-x，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 （1）令x₁=x₂=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函數(shù)；
令x₁=π，x₂=0，可得f（π）+f（0）=2f（$\frac{π}{2}$）f（$\frac{π}{2}$），
又∵f（0）=1，f（π）=-1，
∴f（0）+f（π）=0
∴得f（$\frac{π}{2}$）=0，
令x₁=x，x₂=π-x，可得f（x）+f（π-x）=2f（$\frac{π}{2}$）f（$\frac{2x-π}{2}$）=0
∴f（π-x）+f（x）=0．
即f（π-x）=-f（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．